Численные алгоритмы классической математической физики

Алгазин Сергей Дмитриевич

Просмотров: 1750
0.0/5 оценка (0 голосов)
Загружена 20.12.14
Численные алгоритмы классической математической физики

Купить книгу

Формат: PDF
Избранное Удалить
В избранное!

УДК 519.6
ББК 22.193

             А45

          Алгазин С. Д.

А45        Численные алгоритмы классической математической физики. – М.: Диалог-МИФИ, 2010. – 240 c.

ISBN 978-5-86404-235-9

В книге рассматривается новый подход к конструированию алгоритмов математической физики. Кроме спектральных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнения Лапласа (три краевых задачи) и бигармонического уравнения (две краевые задачи), рассматривается флаттер пластин и пологих оболочек, нестационарные задачи и уравнения Навье –Стокса.

Для двумерных задач громоздкие вычисления затабулированы в таблицах небольшого объёма, что позволяет разработать компактные алгоритмы решения поставленных задач. Приводятся программы на фортране.

Книга представляет интерес для студентов и аспирантов физико-тех­ни­ческих и математических специальностей, специалистов по численным методам, а также для научных сотрудников и инженеров, интересующихся новыми методами численного решения задач математической физики.

Учебное пособие

Алгазин Сергей Дмитриевич

Численные алгоритмы классической математической физики

Редактор О. А. Голубев

Макет Н. В. Дмитриевой

Подписано в печать
Формат 70х100/16. Бум. офс. Печать офс. Гарнитура Таймс.
Усл. печ. л.13,95. Уч.-изд. л. 9,81. Тираж 300 экз. Заказ

ООО “Издательство Диалог-МИФИ”
115409, Москва, ул. Москворечье, 31, корп. 2. Т.: Тел.: 8-905-769-16-61
Http: www.dialog-mifi.ru. E-mail: zakaz@dialog-mifi.ru

Отпечатано ООО "ИНСОФТ"
117105,  г. Москва, Варшавское ш., д. 37А

 

 

 

 

ISBN 978-5-86404-235-9

ã Алгазин С. Д., 2010

ã Оригинал-макет, оформление   обложки
  ООО “Издательство Диалог-МИФИ”, 2010

 

Посвящаю моим родителям,
Алгазину Дмитрию Александровичу
и Алгазиной Надеже Николаевне

 

Предисловие

В 1973 г. я закончил механико-математический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова и был распределен в Институт прикладной математики АН СССР в 12 отдел, а позднее перевелся в 4 отдел, которым тогда руководил Константин Иванович Бабенко. Константин Иванович предложил мне заняться новыми алгоритмами (численными алгоритмами без насыщения) для классических задач математической физики. Вначале мы рассмотрели одномерные задачи (задачу Штурма – Лиувилля, уравнение Бесселя и др.), а потом занялись задачей на собственные значения для оператора Лапласа. Анализируя формулы для матрицы дискретной задачи Дирихле, я заметил, что эта матрица имеет следующую блочную структуру:

                       

где hmn, m,n = 1,2,…,m – симметричные циркулянты размера N ×N, N = 2n + 1, т. е. матрицы, первая строка которых имеет вид: b0, b1,…, bn, bn,…, b1, а остальные строки получаются из первой циклической перестановкой. Для краткости будем называть матрицы такого вида h-матрицами. Здесь m и N – параметры в круге, m – число окружностей сетки, а N = 2n + 1 – число точек на каждой окружности. За один вечер я доказал теорему о свойствах этой матрицы. Позднее стало ясно, что матрицы такого вида и некоторые их обобщения широко встречаются в задачах математической физики. Их можно использовать при дискретизации так, что дискретизация двумерной задачи сводится к дискретизации одномерной задачи, а дискретизация трехмерной задачи сводится к дискретизации двумерной задачи. Тому, как это сделать практически, посвящена настоящая книга.

После каждой главы дается список дополнительной литературы, ссылки на которую даются в квадратных скобках.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проекты № 95–01–00407, 97–01–00923, 05–01–00250, 06–08–08169-офи, 08–01–00207-а, 09–08–00011-а.

Введение

В этой книге рассматриваются классические краевые и спектраль­ные задачи для оператора Лапласа: одномерные, двумерные итрехмер­ные. Также рассмотрены спектральные задачи для бигармонического оператора, флаттер пластин и пологих оболочек, нестационарные задачи уравнения Навье – Стокса и т. д.

Исследуемые ниже двумерные спектральные и краевые задачи для оператора Лапласа рассматриваются только в гладких областях. Реше­ния этих задач (собственные функции) бесконечно дифференцируемы либо даже аналитичны, и поэтому для создания эффективных алгоритмов необходимо учесть эту колоссальную априорную информацию. Традицион­ные методы конечных разностей и конечных элементов почти не ис­пользуют информацию о гладкости решения, т. е. это методы с насыще­нием. Термин "насыщение" введен К. И. Бабенко [1]. Для пояснения то­го, что это означает в нашем случае, рассмотрим абстрактную схему приведенных в этой книге алгоритмов.

Пусть T – замкнутый линейный оператор в банаховом простран­стве B с областью определения D(T), а Pn – проектор на конечномерное подпространство Ln Ì D(Т). Назовем дискрети­зацией оператора Т оператор PnTPn. Пусть для оператора Т имеем задачу на собственные значения:

                                                                                                            (В1)

Если Н – матрица конечномерного оператора PnTPn в некотором базисе , то точное собственное значение Λ оператора Т удовлетворяет соотношению вида

                                                                Hu = λu + r.                                                       (В2)

Здесь H – матрица размера  – вектор значений собственной функции в узлах сетки;  – погрешность дискретизации. Заметим, что (В2) – точное соотношение, т. е. Λ – собственное значение задачи (В1), а  суть точные значения соответствующей собственной функции задачи (1) в узлах сетки. Отбрасывая в (В2) погрешность дискретизации,получим приближенную конечномерную задачу на собственные значения

 

В гл. 1 будет показано, что вообще говоря  порядка погрешности дискретизации . Tаким образом точность приближенного определения собственных значений оператора Tзависит от скорости, с которой 0 при n . Причем  т. е. имеет свое значение для каждой собственной функции и соответствующего собственного значения. В алгоритмах, рас­смотренных в книге, скорость стремления  к нулю зависит от гладкости собственной функции,и, чем выше гладкость u, тем быстрее 0 при n . Это и означает, что описан­ные алгоритмы не имеют насыщения. Разностные методы приводят также к соотношению вида (В2). Однако в этом случае  где h – шаг сетки, а p – порядок разностной схемы. Таким образом, скорость стремления  к нулю не улучшается, если увеличивается гладкость собственной функции. Аналогичные утверждения справедливы и для метода конечных элементов.

Целью книги является разработка и исследование алгоритмов без насыщения для названных выше классических задач.

Краткое изложение основ теории не насыщаемых численных методов содер­жится в первом издании книги К. И. Бабенко [1]. Отметим, что исследования в вычислительной математики в этом направлении недостаточно пропагандировались в России и мире и до сих пор за рубежом практически неизвестны.

Подтверждением тому служит тот факт, что уже в наши дни началось фактическое "переоткрытие" (по-видимому, независимое) этих же вычислительных методов на западе – под названием "спектральных" ме­тодов (S. Orszag, D. Gotlieb [2], Е. Tadmor*, США), а также в виде современ­ных
(hp) – специализаций метода конечных элементов (О. Widlund [3], США и S. Schwab[4, 5], Швейцария), в которых при измельчении сетки (т. е. при
h → 0) одновременно увеличивается степень p полиномов, используемых при ап­проксимации функций внутри одного конечного элемента. Остается лишь сожалеть, что к этому моменту работы К. И. Бабенко и его учеников ока­зались практически забыты.

Проблема решения задач на собственные значения (краевых за­дач) разбивается на две: прежде всего, нужно бесконечномерную за­дачу свести к конечномерной; затем указать метод решения полу­ченной алгебраической задачи на собственные значения (системы линейных уравнений). Для двумерных и трехмерных задач решение соот­ветствующей конечномерной задачи может представлять сложную проблему. В рассматриваемом случае исследование структуры конечномер­ной задачи позволило преодолеть эти трудности. Так, например, при исследовании двумерных задач в круге оказалось, что матрицы соответствующих конечномерных задач имеют такую блочную структуру

                                                                                            (В3)

где hmn , m,n = 1,2,…,m – симметричные циркулянты размера N×N, N = 2n + 1, т. е. матрицы, первая строка которых имеет вид b0,b1,…,bn,bn,…,b1, а остальные строки получаются из первой циклической перестановкой. Для краткости будем называть матрицы такого вида h-матрицами. Следовательно, в мас­сиве H всего m2(n + 1) различных элементов. Здесь m и N – параметры сетки выбираемой в круге для дискретизации соответствующих спектральных задач (m – число окружностей, а N – число точек на каждой окружности), т. е. всего в круге выбирается M = mN точек. Свойства матриц вида (В3) изучаются в гл. 3. Оказывается, что они наследуют свойства соответствующих бесконечномерных задач. Причем, несмотря на большие размеры этих матриц (до 1230), удается вычислить у них все собственные значения даже на маломощной ЭВМ.

Для произвольной области применением конформного отображения задача сводится к кругу, и поэтому матрица диск­ретной задачи по-прежнему имеет достаточно простой вид. В результа­те, для вычисления собственных значений возможно применить метод простой итерации в сочетании с методом исключения [6]. B качест­ве одного из примеров вычислены пять собственных частот свободно опертой пластинки (с 7–8 знаками после запятой), граница кото­рой (эпитрохоида) имеет в 12 точках кривизну порядка 103.

Исследование структуры конечномерной задачи позволяет также создать эффективный алгоритм решения уравнения Пуассона. Отметим, что быстрый алгоритм решения уравнения Пуассона необходим при рас­чете движения пучка заряженных частиц (плазмы) в самосогласован­ном электрическом поле, т.к. на каждом шаге по времени требуется пе­ресчитывать потенциал электрического поля, т. е. решать уравнение Пу­ассона.

Литература

  1. Бабенко К. И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986. 744 с.; 2-е изд., испр. и доп. / Под ред. А. Д. Брюно. М.; Ижевск: РХД, 2002. 847 с.
  2. Orszag S. A., Gotlib D. Numerical Analysis of Spectral Methods. Theory and Applications. Society for industrial and applied mathematics, 1977, 169 pp. Philadelphia, pennsylvania 19103.
  3. Andrea Toselli, Olof Widlund. Domain Decomposition Methods – Algorithms and Theory. Springer Series in Computational Mathematics. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2005, 450 pp.
  4. Cristoph Schwab. p – and Hp – Finite Element Methods theory and application to solid and fluid mechanics. Oxford University, 1998.
  5. C. Schwab, M. Suri, M. Suri, C. Xenophontos, C. Xenophontos,... The hp finite element method for problems in mechanics with boundary layers (1996).
  6. Фадеев Д. К., Фадеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. СПб.: Лань, 2002. 736 с.


Eitan Tadmor Distinguished University Professor – Department of Mathematics Institute for Physical Science & Technology Director, Center for Scientific Computation and Mathematical Modeling (CSCAMM). Email: Этот адрес электронной почты защищён от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра..

Комментарии (0)

Оставить комментарий

Пожалуйста, войдите, чтобы комментировать.